中一中104年資優班鑑定數學實作題目

解:) 我依據題意，把圖形畫出，並標記出各面積及線段長度

      這一題有點難，我也花不少時間解出，不過像我這種中年大叔可以解出，算不簡單的了
       (不曉得有無更簡單的做法??有的話，請告知)
    
   首先，因為E是AB的中點，所以面積AEM=BEM=d

    做一虛線由B到M，且假設面積BMN=c

  

   首先計算 x與y的長度比x/y為多少? 是不是 x/y=a/b=c/2d  -------(1)

   再過來面積b+d=a+c+d =3/2   (因為三角形面積)--------------------------(2)

   

   請注意，現在綠色的面積中，三角形AND 相似於 三角形 FNB，

    我們據此可以得到AND面積(a+b)是FNB面積e的9倍(因為面積比=邊長的平方比)-----(a+b)=9e ------(3)

    

      那面積e+c+2d=(2*1)/2=1  且面積a+b+c+2d=(3*2)/2=3   

   

       我們可以得到a+b-e=2 ，配合式(3)得到 e=1/4 ---------------------------------(4)

   

    根據式(4)及c+2d+e=1，我們得到 c+2d=3/4   ------------(5)

  另根據式(4)，因為e的面積為1/4，又x+y+z=(5)^0.5 (也就是根號5)，

    

  所以得到x+y=(3/4)*(5)^0.5  ------(6)

   重點來了，我們根據式(6)，x長度要算出來，似乎要知道x/y的比例關係，對吧

  

   將式(1)中a/b=c/2d  變成 a/c=b/2d =(a+b)/(c+2d)，因為a+b=9e=9/4，c+2d=3/4，故得

   到a=3c，b=6d  ---(7)    

   

將式(7)代入式(2)，得到d=3/14，所以b=9/7 ，c=9/28，故a=27/28，所以得到x/y=

   (27/28)/(9/7)=3/4 ----(8)

   

  配合式(6)，我們得到 x=(9/28)*(5^0.5)

 結論: 其實算的過程，不是最重要，重要的是抓住這題目的方向，為何要如此假設?
            這種題目，通常關鍵在於隱藏著簡單的面積比等於底部長度比及相似三角形面積比
            等於邊長的平方比的簡單公式而已。